Warum gibt’s Mathe?

Warum gibt’s überhaupt Mathe? Das ist eine der Fragen, mit der ich im Nachhilfe-Unterricht damals vom Thema ablenken wollte. »Darum«, war die Antwort, »und jetzt rechne x aus.« Heute bin ich der Frage, wie Mathe entstanden ist, mal auf die Spur gegangen. Hier eine kurze Vorgeschichte der Mathematik.

Doch zunächst ein paar Basics. 🤓

Mathematik: erfunden oder entdeckt?

Die Mathematik wurde nicht erfunden, sondern wird entdeckt – und zwar als eine Fähigkeit in uns selbst. Schon lange bevor die Mathematik als solche bezeichnet wurde, begannen Lebewesen mit etwas, das heute »mathematisches Denken« heißt. Dieser Beginn war die (unbewusste) Entdeckung der Mathematik.

Okay, und warum heißt Mathe Mathe?

Mathe heißt Mathe bzw. Mathematik, weil die alten Griechen für die »Kunst des Lernens« den Begriff mathēmatikē téchnē hatten. Von dieser altgriech. Bezeichnung leitet sich das lateinische Wort mathematica ab, das im Laufe der Zeit als »Mathematik« den Einzug in die deutsche Sprache fand.

Im Zuge dessen verengte sich die Bedeutung von der »Kunst des Lernens« hin zu einer Wissenschaft, die abstrakte Strukturen auf ihre Merkmale und Muster untersucht. Klingt ziemlich speziell. Da wird man ja wohl fragen dürfen: Wie wichtig ist Mathe?

Mathe ist sehr wichtig. Auf einer Skala von 1 bis 10 liegt die Wichtigkeit von Mathe bei 12 minus 2. Ähnlich wie Lesen und Schreiben gehört das Rechnen zu den Dingen, die uns ständig begleiten. Nicht zuletzt im Umgang mit Geld und Zeit, vom Einkaufen bis zur Urlaubsplanung.

Mit wie vielen Tankfüllungen kommen wir von A nach B? Für wie viele Übernachtung reicht unser Reise-Budget? Das sind nur zwei Beispiele dafür, wie uns Mathe überall hin verfolgt. 🏕️

Aber Einkauf und Urlaub, das sind mit Blick auf die Geschichte der Menschheit eher junge Erscheinungen. In der Steinzeit jedenfalls, da gab es diesen Bedarf doch noch gar nicht…

Inhaltsverzeichnis

Der Beginn mathematischen Denkens

Die Vorgeschichte der Mathematik lässt sich am besten beginnen mit dem Aufkommen des mathematischen Denkens. Doch die Anfänge des Zählens und Rechnens sind, wie so vieles, im Dunkeln der Geschichte versunken.

Was wir als Anfänge glauben nachweisen zu können, sind ohnehin schon ganz späte Stadien.

Jacob Burckhardt: Weltgeschichtliche Betrachtungen

Wichtig wäre zu klären, was wir unter »mathematischem Denken« verstehen. Ist damit nämlich »die Bildung abstrakter mathematischer Begriffe und die Herstellung von Beziehungen zwischen ihnen« gemeint (Wußing 2008, 6), dann liegen die Anfänge nicht ganz so weit zurück, wie uns altsteinzeitliche Fundstücke mutmaßen lassen.

Abgesehen davon ist es ohnehin absolut unwahrscheinlich, dass wir je ein Überbleibsel finden, das den einen Anfang markiert, das tatsächliche erste Mal mathematischen Denkens auf Erden. 🌍

Die kognitive Revolution

Die Vielfalt von Fundstücken legt die Annahme nahe, dass sich die Fähigkeiten des Zählens und Rechnens vielerorts auf der Erde unabhängig voneinander entstanden. Dies geschah infolge der »Entstehung neuer Denk- und Kommunikationsformen in dem Zeitraum, der vor rund 70.000 Jahren begann und vor etwa 30.000 Jahren endete, [und] als kognitive Revolution bezeichnet« wird (Harari 2019, 34).

Kognition ist die Gesamtheit dessen, was beim Wahrnehmen und Erkennen in Lebewesen mit Sinnesorganen abläuft.

Bei einigen Affen in Afrika hat die kognitive Revolution über zigtausende Jahre und zahlreiche Generationen hinweg zu »kleinen Verschiebungen in der Struktur des Gehirns« geführt (ebd. 505). 🧠 Das brachte uns her: Homo sapiens sapiens. Menschenaffen, die sich für klüger halten, als sie sind.

Dass die Fähigkeit des Unterscheidens meist kleinerer Mengen von Elementen auch andere Tierarten innehaben, das ist seit über 100 Jahren bekannt und vielfach experimentell nachgewiesen worden.

Zur »Unterscheidung von der Fähigkeit des Zählens« und »in Ermangelung eines besseren Ausdrucks« wäre hier von einem »Zahlengefühl« (Ifrah 1998, 21) oder »Zahlensinn«, number sense, zu sprechen (Dantzig 2005, 1).

Ein solches Gespür für Mengen haben etlichen Tierarten von Elefanten bis hin zu Ameisen bewiesen (vgl. u. a. Plotnik et al. 2019; Reznikova, Ryabko 2011). Selbst das Verhalten von Pflanzen wie der Venusfliegenfalle kann als »Zählen« interpretiert werden (vgl. u. a. Suda et al. 2020).

Kein Wunder also, dass auch Menschenbabys schon kurz nach der Geburt erkennen lassen, dass sie bei Mengenverhältnissen ganz genau hinschauen 👶 (vgl. Hasemann, Gasteiger 2020, 2f.).

Kerben in Knochen

Herangewachsene H. sapiens sind auf jeden Fall, soweit wir wissen, die einzigen Wesen auf dem blauen Planeten, die Spuren davon hinterließen, wie ihr Zahlengefühl schleichend zu einem Zahlenbegriff herangereift ist.

Beamen wir uns dazu zurück in jene Epoche, die wir Altsteinzeit nennen, obwohl die Menschen damals weit mehr als nur Steine benutzt haben. Knochen zum Beispiel. 🦴

Unser Fokus liegt auf solchen Knochen, die »mit auffallenden Reihen von eingeritzten Strichen in […] Form von feinen Kerben bedeckt« sind (Absolon 1957, 123). Viele dieser Kerben werden reine Zierde gewesen sein.

Doch schon vor rund 150 Jahren, als die Paläontologie als Wissenschaft der Lebenswelten und Lebewesen lang vergangener Zeiten gerade begründet worden war, da äußerten Fachleute den Verdacht, dass die Striche zur Aufzählung gedient haben könnten (vgl. etwa Lartet, Christy 1875, 195).

Bei manchen Funden, da stärken die Anordnung und Anzahl der Kerben diese Vermutung.

Der Ishango-Knochen

Ein berühmtes Beispiel ist heutzutage der Ishango-Knochen, benannt nach seinem Fundort in Zentralafrika. Verwahrt wird dieser Knochen im Museum für Naturwissenschaften in der belgischen Hauptstadt Brüssel, was mit Belgiens Kolonialgeschichte im Kongo zusammenhängt.

Über die Online-Plattform Google Arts & Culture lassen sich sowohl der Ishango-Knochen in Belgien als auch alte Schwarzweiß-Fotografien von der Ausgrabungsstelle im Kongo besichtigen. (Siehe hier)

Der kleine Pavian-Knochen weist in drei Spalten mehrere Gruppen von Kerben auf. Zwei der Spalten ergeben je genau 60 Kerben. Kann das Zufall sein, oder handelt es sich um einen Hinweis darauf, dass da jemand zählte?

Die Debatte zu dieser Frage hält bis heute an und hat in Fachkreisen umstrittene Spekulationen hervorgebracht. Etwa, dass es sich um einen Mondkalender handeln könnte 🌖 (vgl. Marshack 1971, 27), eventuell erdacht von einer Frau, um ihren Menstruationszyklus zu notieren (vgl. Zaslavsky 1992).

Vielleicht aufgrund der verschiedenen […] Hypothesen bzgl. der Markierungen an seinen Seiten, wird gelegentlich eine […] entscheidende Tatsache über den Ishango-Knochen übersehen: An einem Ende des Knochens ragt ein scharfes Stück Quarz heraus, eine angefügte Spitze, die augenscheinlich für Gravierungen verwendet wurde. Es lässt vermuten, dass der Ishango-Knochen als eine Art steinzeitlicher Bleistift diente. (Everett 2019, 35)

Demnach hätte jemand den Knochen einst zwischen den Fingern gehalten, um damit Markierungen auf anderen Objekten vorzunehmen.

Diese Annahme stammt von Caleb Everett. Ihm zufolge könnten die Seiten des Knochens als Gedächtnisstütze gedient haben – für eine Person, die gerade die so »zwischen-gespeicherten« Mengen an Gegenständen oder Ereignissen in einen anderen Knochen oder ein Holzstück ritzte.

Mit anderen Worten, der Knochen diente einem realen, aber abstrakten Zweck. […]. Der Knochen lässt vermuten, dass einige afrikanische Völker vor mindestens 20.000 Jahren prähistorische Zahlen produzierten und reproduzierten. (Ebd. 36)

(Die Datierung passt zu Untersuchungen der Fundstelle, vgl. Brooks, Smith 1987.)

So weit, so spekulativ.

Die Methode der Abstraktion

»Abstrakt« heißt soviel wie »verallgemeinert«, von allem Besonderen und Gegenständlichen losgelöst. Das Gegenteil ist »konkret« als etwas Anschauliches oder Bestimmtes. Die Begriffe »abstrakt« und »konkret« sind entlehnt aus dem Lateinischen (abstractus – abgezogen, concretus – verdichtet).

Abstrakt ist das Ergebnis einer Abstraktion. Das ist eine Methode, mit der ich in Gedanken alle besonderen Merkmale von einem konkreten Gegenstand abziehe oder abstrahiere.

Wenn ich eine Harpune nehme und gedanklich alle besonderen Merkmale von ihr abziehe, indem ich mir das Ding ohne bestimmte Farbe, Form, Größe oder Gewicht vorstelle, so bilde ich mir einen abstrakten Begriff, den ich losgelöst von dem konkreten Gegenstand verwenden kann. 💬

Ich denke jetzt nicht mehr an die eine Harpune, sondern irgendeine oder jedwede Harpune, verallgemeinert. Nun hieß es, dass mathematisches Denken vermittels abstrakter Begriffe in der Altsteinzeit noch nicht anzunehmen sei – und dabei bleibt es.

Die Methode der Abstraktion beginnt unbewusst jedoch schon dann, wenn ganz ohne Begriffe eben ein realer, aber abstrakter Zweck verfolgt wird.

Was heißt das?

Eine Vorstufe des Zählens

Denken wir uns einen Urmenschen, der für jede Harpune, die er anfertigt, eine Kerbe in einen Knochen ritzt. Nach langem Werkeln sammelt er die Harpunen ein und gleicht ab. Dazu legt der Urmensch jede Harpune zur Seite und rutscht dabei mit dem Finger je eine Kerbe weiter.

Jede Kerbe steht – darin liegt ihr unbewusst abstrakter Zweck – für keine bestimmte oder besondere, sondern irgendeine Harpune. Auf diese Weise erfährt der Urmensch nicht, wie viele Harpunen es sind. Dazu bräuchte es einen Zahlenbegriff: »Wie viele?« – »Sieben«, zum Beispiel.

Stattdessen bringt dieser Urmensch in Erfahrung, dass es so viele sind, wie es sein sollen – und keine Harpunen verloren gegangen oder anderweitig abhanden gekommen ist. ☝️

Dass die Kerben im Ishango-Knochen auf ähnliche Weise zum Zählen ohne Begriffe gedient haben mögen, bleibt aber eine Vermutung (vgl. dazu auch Ifrah 1998, dort findet sich ein Beispiel, das die Vermutung einer derartigen Zählweise bestätigen soll).

In diesem Sinne sollten wir eingeritzte Knochen allenfalls als »Vorstufe des Zählens [und] Rechnens« (Wußing 2008, 6) einordnen – bemerkenswert zwar, gerade im Rahmen für eine Vorgeschichte der Mathematik, aber ansonsten nicht überzubewerten.

Mathematisches Denken in Begriffen

Um dem mathematischen Denken in Begriffen auf die Schliche zu kommen, liegt es nahe, statt alter Knochen die Spuren der Sprachen zurückzuverfolgen.

Hier begegnet uns wieder die Unterscheidung mehr oder weniger kleiner Mengen als Ausgangspunkt für die Entstehung des Zahlenbegriffs.

Es scheint so, als konnten die Menschen in den Uranfängen der Mathematik nur zwischen einem und vielen unterscheiden […]. Im Laufe der Zeit bildete sich in einigen primitiven Sprachen eine Unterscheidung zwischen einem, zwei und vielen heraus, dann zwischen eins, zwei, drei und vielen. Manche Sprachen weisen heute noch diese Beschränkung auf. (Seife 2002, 13)

(Die bei Seife angeführten Beispiele, die »Siriona in Bolivien und Yanoama in Brasilien«, sind weder näher erläutert noch mit Belegen versehen. Eine Überprüfung hat keine hinreichenden Nachweise erbracht, weshalb hier mal von einer Wiedergabe dieser Beispiele abgesehen wird.)

Wie zählen Naturvölker?

Eins, zwei, viele – konkrete Beispiele für diese Zählweise anzugeben ist gar nicht so einfach, da sich bei näherem Hinhören das Verhältnis indigener Völker zu Mengen und Zahlen als schwierig zu entschlüsseln erweisen.

Kurzum: Die Spuren der Sprachen sind da nicht weniger rätselhaft, als die Spuren der Knochen.

Das Volk der Pirahã in Brasilien etwa scheint »eins«, »zwei« und »viele« zu meinen, doch bei genauerer Beobachtung steckt dahinter kein Konzept des Zählens, sondern relativer Mengenangaben: Den Ausdruck der Pirahã, der von Außenstehenden als »zwei« aufgefasst werden kann, bezeichnet mal zwei kleine Fische – und ein andermal einen größeren Fisch 🐟 (vgl. Everett 2012, 179f.).

Dies beobachtete der Sprachforscher Daniel Everett (der Vater von Caleb Everett), der sieben Jahre mit den Pirahã verbrachte und zu der Einsicht kam, dass dieses Volk über gar keine Zahlwörter verfüge und dementsprechend auch nicht zähle (vgl. Frank, Everett et al. 2008).

Dieser Eindruck drängt sich auch bei den Warlpiri in Australien auf, zumindest aus dem Blickwinkel der empfehlenswerten BBC-Doku The Story of 1, die sich den Warlpiri jedoch nur zwei Minuten lang widmet (ab. Min. 07:25).

Statt Zeit und Raum exakt zu messen, heißt es in der Doku, hielten sich die Warlpiri an den Sonnenstand und orientierten sich im weiten Land mithilfe alter Volkslieder. Fakt sei, so der Erzähler: »Im traditionellen Leben der Warlpiri brauchten sie nicht wirklich ein Zahlensystem, geschweige denn Arithmetik. (Min. 09:17)

Kulturelle Unterschiede

Arithmetik ist ein Teilgebiet der Mathematik – und Mathematik entsteht erst da, »wo man, statt [nur] zu zählen, dazu übergeht, Beziehungen zwischen Mengen herzustellen« (Kaplan 2006, 46). Kurzum: Wo gerechnet wird.

Die Arithmetik kann als die »Kunst des Zählens und Rechnens« verstanden werden, welche die Warlpiri dieser Doku zufolge nicht beherrschen.

Doch Achtung: Solch vereinfachte Darstellungen bergen die Gefahr, dass von einem nicht vorhandenen Zahlensystem auf eine fehlende Fähigkeit zum Zählen geschlossen wird.

Das wiederum führt schnell zu der Annahme, Stämme wie die Warlpiri seien auf einem niedrigeren geistigen Entwicklungsstand als Zivilisationen mit Zahlensystemen.

Dazu der Sprachforscher John Harris, der sich auf die Kulturen der Aborigines spezialisiert hat:

Es mag richtig sein, dass die Beschäftigung mit dem Zählen nicht so sehr in die gesellschaftliche Tiefenstruktur der Aborigines […] eingedrungen ist, wie es in der westlichen Gesellschaft der Fall ist. Es ist nicht wahr, dass es den Aborigines […] an der Fähigkeit zum Zählen mangelte. Sie zählten, was sie zählen wollten oder mussten. Außerdem betrieben sie andere Arten mathematischer Aktivitäten, mit ihren eigenen, einzigartigen und kulturell angepassten Wegen, sich Raum, Zeit, Position, Form und mehr zu erschließen. (Harris 1987)

(Siehe dazu auch Hargrave 1982)

Fazit und Ausblick

Soweit eine kurze Vorgeschichte der Mathematik. Wo und wie die ersten Zählweisen und Zahlwörter genau ihren Anfang und Werdegang nahmen, das verraten auch die Spuren in den Sprachen nicht.

Was wir aus den Betrachtungen mitnehmen können, sind die Hinweise darauf, dass die Warlpiri kein Zahlensystem brauchten und dennoch zählten, was sie zählen mussten.

Der Aspekt der Notwendigkeit spielte in der Geschichte der Zahlen (samt der Null) eine entscheidende Rolle – infolge einer Entwicklung, die so grundlegend war, dass sie erneut als Revolution bezeichnet wird.

Dazu verschlägt es uns vom fernen Australien in den Vorderen Orient und von der Gegenwart wieder zurück in die Steinzeit, die Jungsteinzeit, dieses Mal.

Die neolithische Revolution

In der Fachsprache wird die Jungsteinzeit als »Neolithikum« bezeichnet. Dementsprechend heißt die Revolution, von der hier die Rede ist, die neolithische Revolution. 🌱

Bescherte uns die kognitive Revolution neue geistige Fähigkeiten, ging die neolithische Revolution mit einer neuen Lebensweise einher: Die Menschen ließen sich nicht, bebauten Ackerland, domestizierten Tiere und errichteten Dörfer, Städte, Metropolen.

Diese neue Lebensweise hat, mit wachsenden Bedürfnissen und Notwendigkeiten, zu einer immer komplexeren Beschäftigung mit den Möglichkeiten der Mathematik geführt. Auch wenn wir in der Schule die Notwendigkeit im konkreten Fall nicht immer erkennen mögen.

Denn mal ehrlich: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich später mal Stochastik brauche? 🤷

Feedback und Fragen wie immer gerne in die Kommentare. Wenn du lernen möchtest, wie sich Wissen via Video vermitteln lässt, hier ein Onlinekurs zum Skripten vom Edutainment-Videos. 👨‍🏫

Literatur

Artikel

Absolon, Karel: Dokumente und Beweise der Fähigkeiten des fossilen Menschen zu zählen im mährischen Paläolithikum. In: Artibus Asia 20.2/3 (1957, 123–150.

Brooks, Alison S.; Catherine C. Smith: Ishango revisited: new age determinations and cultural interpretations. In: African Archaeological Review 5 (1987), S. 65–78.

Frank, Michael C. et al.: Number as a cognitive technology: Evidence from Pirahã language and cognition. In: Cognition 108 (2008), 819–824.

Hargrave, S. (Hg.): Work Papers of SIL-AAB. In: Language and Culture, Series B Volume 8 (1982).

Harris, John: Australian Aboriginal and Islander Mathematics. In: Australian Aboriginal Studies 2 (1987), 29–37.

Lartet, Edouard; Henry Christy: Reliquiæ Aquitanicæ; being contributions to the Archæology and Palæontology of Périgord and the adjoining provinces of Southern France. Williams & Norgate 1875.

Plotnik, Joshua M. et al.: Elephants have a nose for quantity. In: PNAS 116.25 (2019), S. 12566–12571.

Reznikova, Zhanna; Boris Ryabko: Numerical competence in animals, with an insight from ants. In: Behaviour 148.4 (2011), S. 405–434.

Suda, Hiraku et al.: Calcium dynamics during trap closure visualized in transgenic Venus flytrap. In: Nature Plants 6 (2020), S. 1219-1224.

Zaslavsky, Claudia: Women as the First Mathematicians. In: International Study Group on Ethnomathematics Newsletter 7.1 (1992).

Bücher

Dantzig, Tobias: Number. The Language of Science. Dutton Adult 2005.

Everett, Caleb: Numbers and the Making of Us: Counting and the Course of Human Cultures. Harvard University Press 2019.

Everett, Daniel: Das glücklichste Volk: Sieben Jahre bei den Pirahã-Indianern am Amazonas. Pantheon 2012.

Harari, Yuval Noah: Eine kurze Geschichte der Menschheit. DVA 2019.

Hasemann, Klaus; Hedwig Gasteiger: Anfangsunterricht Mathematik. Springer 2020.

Ifrah, Georges: Universalgeschichte der Zahlen. Avus 1998.

Kaplan, Robert: Die Geschichte der Null. Piper 2006.

Marshack, Alexander: The Root of Civilization. The Cognitive Beginnings of Man’s First Art, Symbol and Notation. McGraw-Hill 1971.

Seife, Charles: Zwilling der Unendlichkeit: Eine Biographie der Zahl Null. Goldmann 2002.

Wußing, Hans: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. Springer 2008.

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